2.4. Постановка основных краевых задач для ДУ с ЧП второго
порядка
Как уже отмечалось при рассмотрении примеров, ДУ с ЧП имеет в
общем случае бесчисленное множество решений. Для того чтобы из этого
множества решений выделить частное решение, описывающее конкретный
физический процесс, необходимо задать некоторые дополнительные
условия.
Различие в типах уравнений второго порядка тесно связано с
различием физических процессов, описываемых этими уравнениями.
Уравнение нестационарной теплопроводности является уравнением
параболического типа; волновое уравнение, уравнение Даламбера
относятся к гиперболическому типу.
Для дифференциальных уравнений второго порядка рассматриваются
три типа задач: задача Коши, краевая задача, смешанная задача.
4А1 (Задача Коши). Задача Коши ставится для уравнений
гиперболического и параболического типов, если область совпадает со
всем пространством, граничные условия отсутствуют, а задаются только
начальные условия. Например, для волнового уравнения
2 2 2 2
2
2 2 2 2
u u u u
a
t x y z



(2.24)
задача Коши в области
3
DR
ставится так: найти дважды
дифференцируемую функцию
, , , ,u x y z t
удовлетворяющую уравнению
(2.24) и начальным условиям
0
, , ,0 , , ,
, , ,
t
u x y z f x y z
u
x y z
t

где
, , .x y z D
4А2 (Краевая или граничная задача). Краевая задача ставится для
уравнений эллиптического типа. Начальные условия отсутствуют,
задаются граничные условия. По виду граничных условий различают
краевые задачи первого, второго, третьего родов и т. д. Например, для
уравнения Лапласа
0,u
где
, , ,u u x y z
3
, , ,x y z D R
краевая
задача первого рода ставится так: найти дважды дифференцируемую
функцию
удовлетворяющую уравнению Лапласа внутри области
и граничным условиям
( , , ) ( , , ),u x y z f x y z
L
на границе
L
области
.D
Краевая задача первого рода для уравнения Лапласа называется задачей
Дирихле.
В квантовой механике граничные условия обычно сводятся к
требованию, чтобы функция
,,u u x y z
исчезала (обращалась в нуль) на
бесконечности. Кроме того, она должна быть всюду ограниченной,
непрерывной и однозначной.
4А+Б3 (Смешанная задача). Смешанная задача ставится для
уравнений гиперболического и параболического типов, в основном, когда
область исследования ограничена, задаются начальные и граничные
условия. Примером задачи смешанного типа для волнового уравнения
2 2 2
2
2 2 2
u u u
a
t x y




(2.25)
является следующая: найти дважды дифференцируемую функцию
, , ,u x y t
удовлетворяющую уравнению (2.25), начальным условиям
, ,0 ,u x y f x y
,
0
,
t
u
xy
t

и граничным условиям
0.
Г
u
Рассмотрим теперь систему уравнений с частными производными
относительно неизвестных функций
12
, ,...,
N
u u u
по независимым
переменным
12
, , ,..., :
n
t x x x
0
1
11
1
, ,..., , ,..., ,..., ,... ,
...
i
in
k
n
j
i
i n N
n k k
k
n
u
u
F t x x u u
t t x x




(2.26)
0 1 2 0
... ; ; , 1, 2,..., .
n j j
k k k k k n k n i j N
.
Здесь для каждой из неизвестных функций
i
u
существует свой
наивысший порядок
i
n
производных от этой функции, входящих в
рассматриваемую систему. Независимая переменная
t
играет особую роль
среди прочих независимых переменных, так как, во-первых, среди
производных наивысшего порядка
i
n
каждой функции
,
i
u
входящих в
данную систему, должна содержаться производная
,
i
i
n
i
n
u
t
и, во-вторых,
система разрешена относительно этих производных. Обычно в физических
задачах роль
t
играет время, а
1
,...,
n
xx
– пространственные координаты.
Число уравнений равно числу неизвестных функций. При некотором
значении
0
tt
задаются значения неизвестных функций
i
u
и их
производных по
t
до порядка
1.
i
n
Пусть при
0
tt
12
, ,..., 0,1, 2,..., 1 .
k
k
i
i n i
k
u
x x x k n
t
(2.27)
Все функции
12
, ,...,
k
in
x x x
заданы в одной и той же области
0
.G
Задача Коши состоит в том, чтобы найти решение системы (2.26),
удовлетворяющее при
0
tt
начальным условиям (2.27).
4Б+С4 (Теорема Ковалевской). Если все функции
i
F
аналитичны в
некоторой окрестности точки
01
0 0 0
0 1 , , ,...,
, ,..., ,..., ,...
n
n j k k k
t x x
и все функции
k
j
аналитичны в окрестности точки
0 0 0
12
, ,..., ,
n
x x x
то задача Коши имеет
аналитическое решение в некоторой окрестности точки
0 0 0 0
12
, , ,...,
n
t x x x
и
притом единственное в классе аналитических функций.